Álgebra linear Exemplos

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} 0 \\ x \end{array}]$

Etapa 1

A transformação define um mapa de $ℝ^{2}$ para $ℝ^{2}$ . Para provar que a transformação é linear, a transformação deve preservar a multiplicação escalar, a adição e o vetor zero.

M: $ℝ^{2} \to ℝ^{2}$

Etapa 2

Provar a transformação primeiro preserva esta propriedade.

$M (x + y) = M (x) + M (y)$

Etapa 3

Estabeleça duas matrizes para testar se a propriedade da soma foi preservada para $M$ .

$M ([\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \end{array}] + [\begin{array}{c} y_{1} \\ y_{2} \end{array}])$

Etapa 4

Some as duas matrizes.

$M [\begin{array}{c} x_{1} + y_{1} \\ x_{2} + y_{2} \end{array}]$

Etapa 5

Aplique a transformação ao vetor.

$M (x + y) = [\begin{array}{c} 0 \\ x_{1} + y_{1} \end{array}]$

Etapa 6

Agrupe as variáveis para quebrar o resultado em duas matrizes.

$M (x + y) = [\begin{array}{c} 0 \\ x_{1} \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 \\ y_{1} \end{array}]$

Etapa 7

Como a propriedade de adição da transformação não se sustenta, esta transformação não é linear.

$M (x + y) \neq M (x) + M (y)$